Évolution d'une épidémie (d'après bac 2019)

On modélise l'évolution d'une épidémie par une fonction `f` qui donne le nombre de personnes malades, en milliers, en fonction du temps écoulé, en jours, depuis le début de l'étude.

La fonction `f` est représentée ci-dessous par la courbe `\mathcal{C}_f` pour les seize premiers jours de la modélisation.

Partie A   Lectures graphiques

1. Déterminer une valeur approchée du nombre de personnes malades au début de l'étude.

2. Déterminer le nombre de jours au bout desquels le nombre de personnes malades est supérieur à 800 000.

3.  On sait que :

• au-delà du 16 ^e jour, le nombre de personnes malades diminue de plus en plus vite jusqu'au 18 ^e jour ;
  
• à partir du 19 ^e jour, le nombre de personnes malades diminue de moins en moins vite pour passer sous la barre des 200 000 au cours du 26 ^e jour.
  

Compléter la courbe représentative de `f` en proposant une courbe qui soit compatible avec ces informations.

Partie B   Étude de la fonction `f`

On admet que, sur l'intervalle \([0~;16]\) , la fonction  `f` est définie par : \(f(x)=-x^3+12x^2+144x+270\) .

1. En utilisant l'expression de la fonction `f` , calculer le nombre d'individus malades au 12 ^e jour de l'étude.

2. Démontrer que, pour tout réel  `x` de l'intervalle \([0~;16]\) , \(f'(x)=3(12-x)(x+4)\) .

3. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur l'intervalle \([0~;16]\) .

4. En déduire le tableau de variations de `f` sur \([0~;16]\) .

5. D'après ce modèle, le nombre de personnes contaminées atteindra-t-il les deux millions ? Justifier.